7 класс прямоугольный треугольники реферат

Обновлено: 27.04.2023

Предмет: геометрия. Учебник: Погорелов А. В. Геометрия 7 – 9 класс.

  • обучающая – формировать три свойства прямоугольных треугольников, уметь применять свойства при решении задач; рассмотреть теорему о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.
  • развивающая – развивать математическую речь, вычислительные навыки, навыки самоконтроля;
  • воспитательная – воспитывать внимание, умение работать самостоятельно, развить у учащихся потребность в самовыражении через различные виды работ.

Методы и приемы:

  • По способу приобретенных знаний – словесные, наглядные, практические.
  • По уровню познавательной активности – проблемный, частично-поисковый, (эвристический), проверка уровня теоретических знаний, решение познавательных задач.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Технологии, применяемые на уроке:

  • Здоровьесберегающие технологии.
  • Информационно – коммуникативные технологии.

Оборудование: 1 компьютер,

1. Организационный момент (1 мин)

2. Фронтальная беседа в форме вопрос-ответ с использованием опорных схем (3 мин)

3. Решение занимательной задачи (2 мин)

4. Объяснение нового материала (12мин)

5. Решение задач на свойства прямоугольных треугольников (8 мин)

6. Физкультминутка (2 мин)

7. Игровой момент (4 мин)

8. Применение знаний. Тестовая работа (10 мин)

9. Примеры применения свойств прямоугольных треугольников в технике (2мин)

10. Подведение итогов. Задание на дом (3мин)

1 . Организационный момент.

Включение учащихся в учебную деятельность; определение содержательной рамки урока ( слайд №1).

2 . Фронтальная беседа по опорным схемам .

– какие виды треугольников вы знаете?

– какие треугольники называются равнобедренными?

– можно ли построить тупоугольный равносторонний треугольник?

– чему равна сумма углов треугольника?

– какой треугольник называется прямоугольным?

На сегодняшнем уроке речь пойдет о прямоугольном треугольнике и о его свойствах.

– Нарисуем прямоугольный треугольник и дадим название его сторон. ( Слайд2 )

3 . Занимательная задача .

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 70 o .

Степа Смекалкин находит градусную меру угла следующим образом:

  1. делит 70 o на два, получает 35 o ;
  2. из 90 o вычитает 35 o , получает 55 o .

Не сможете ли вы объяснить, на чем основан этот способ? ( слайд №3 )

4 . Объяснение нового материала.

Первое свойство учащиеся записывают в тетради. Доказательство этого свойства рассматривается устно вместе с учащимися, опираясь на две рассмотренные ранее задачи (слайд №4).

Второе свойство учащиеся записывают в тетради (слайд №5). Доказательство проводит учитель совместно с учащимся.

Рассматриваются задачи (слайд №6) на использование этих свойств.

5. Гимнастика для глаз.

Цель этапа: предупредить физическое напряжение, усталость, утомление; способствовать усилению работоспособности в конце урока. Помимо тренировки зрения, упражнение будет способствовать развитию ряда психических функций: зрительной памяти, произвольного внимания, наглядно-образного и логического мышления.

  • учитель демонстрирует в течение нескольких секунд 6 геометрических фигур разных цветов (рисунок 1), затем закрывает их и дает задание учащимся воспроизвести увиденное на листке (слайд №7);
  • учитель вновь открывает рисунок 1, ученики проверяют правильность выполнения задания;
  • после проверки упражнения учитель меняет рисунок 1 на рисунок 2, в котором геометрические фигуры изменили свои места и цвет. Ученики должны найти, что изменилось.

Третье свойство (слайд №9) учащиеся записывают в тетради, доказательство этого свойства учитель задает на дом. При формулировке третьего свойства обращается внимание на связь со вторым свойством (обратная теорема). Далее рассматривается задача на закрепление:

6. Решение задач на применение свойств прямоугольных треугольников :

(Перед решением задачи учащиеся вспоминают определение и свойство внешнего угла треугольника).

АС = 12 АВ (по второму свойству) =>12 АВ + АВ =18;

АС = 18 – АВ = 18 – 12 = 6 (см).

Ответ: 6 см, 12 см.

(Решение данной задачи проводит учащийся у доски).

7. Игровой момент.

Учитель: я задумала один из данных пяти треугольников. Задайте мне только два вопроса (от класса) и, выслушав ответ, назовите номер задуманного мною треугольника: (слайд №9).

8. Тестовая работа.

Задания в тестовых работах предлагаются трех уровней, которые отмечаются звездочками. Чем больше звездочек у номера задания, тем оно сложнее. Время для выполнения тестовой работы -10 минут.

После выполнения тестовой работы выполняется проверка и самооценка учащихся по критериям выставления оценок (слайд №10).

9. Применение свойств прямоугольных треугольников в технике.

Мы сегодня познакомились с тремя свойствами прямоугольных треугольников.

Свойство о сумме острых углов прямоугольного треугольника нашло широкое применение в транспортной, космической технике. Это свойство, например, лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Так, уголковый отражатель, или КАТАФОТ, устанавливается на заднем крыле велосипеда для того, чтобы “возвращать” свет автомобильных фар. Это дает возможность водителю автомобиля видеть в темное время суток идущий впереди велосипед.

Прежде, чем садиться за руль велосипеда, необходимо установить уголковый отражатель в целях безопасности движения (слайд №11).

10. Этап подведения итога урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, изученное на уроке; оценить собственную деятельность на уроке; обсудить и записать домашнее задание.

Taisnl_ip1.jpg

Сумма углов треугольника равна 180 ° , а прямой угол равен 90 ° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника ∡ (1) (+) ∡ (2 =) 90 ° .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 ° , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в () 30 ° ()).

Taisnl_ip2.jpg

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC), в котором ∡ (A) — прямой, ∡ (B =) 30 ° , и значит, что ∡ (C =) 60 ° .

Докажем, что (BC = 2 AC).
Приложим к треугольнику (ABC) равный ему треугольник (ABD), как показано на рисунке.

Получим треугольник (BCD), в котором ∡ (B =) ∡ (D =) 60 ° , поэтому (DC = BC). Но (DC = 2 AC). Следовательно, (BC = 2 AC).

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30 ° .

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прямоугольный треугольник 7 класс.

Прямоугольный треугольник 7 класс.

Цели урока: повторение свойств прямоугольных треугольников; формирование умен.

Цели урока: повторение свойств прямоугольных треугольников; формирование умений и навыков применения свойств при решении задач; развитие логического мышления, творческих способностей.

А С В гипотенуза катет катет

А С В гипотенуза катет катет

Свойства прямоугольных треугольников А 1) Сумма острых углов прямоугольного т.

Свойства прямоугольных треугольников А 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900. ∟А +∟В = 900 С В 2) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы. ∟А= 300 ВС=1/2 АВ 3)Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300. ВС=1/2 АВ ∟А= 300

Свойства прямоугольных треугольников 4) Если прямоугольный треугольник равноб.

Свойства прямоугольных треугольников 4) Если прямоугольный треугольник равнобедренный, то его острые углы равны по 45◦. ∟С=∟В = 45◦ 5)Если угол прямоугольного треугольника равен 45◦, то этот треугольник равнобедренный. А С В

Свойства прямоугольных треугольников 6) В прямоугольном треугольнике медиана.

Свойства прямоугольных треугольников 6) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. ВМ= 1/2АС 7) Если медиана треугольника равна половине стороны к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. ВМ =АМ = МС А М В С

Решение задач по готовым чертежам 1) 32° А С В Найти угол В

Решение задач по готовым чертежам 1) 32° А С В Найти угол В

Решение задач по готовым чертежам Найти ВС 2) 18 см 30° А С В

Решение задач по готовым чертежам Найти ВС 2) 18 см 30° А С В

Решение задач по готовым чертежам 60◦ Найти АС. 3) 4 см В А С

Решение задач по готовым чертежам 60◦ Найти АС. 3) 4 см В А С

Решение задач по готовым чертежам А В С 4) 4 см 8 см Найти угол С, угол А.

Решение задач по готовым чертежам А В С 4) 4 см 8 см Найти угол С, угол А.

Решение задач по готовым чертежам 5) Найти: ∟А-? 1 2

Решение задач по готовым чертежам 5) Найти: ∟А-? 1 2

Решение задач по готовым чертежам 6) Найти: ∟В и ВС-? 8см.

Решение задач по готовым чертежам 6) Найти: ∟В и ВС-? 8см.

Решение задач по готовым чертежам А 7) ∟С=90◦, АС=ВС=12см. Найти ∟А и ∟В С В

Решение задач по готовым чертежам А 7) ∟С=90◦, АС=ВС=12см. Найти ∟А и ∟В С В

Решение задач по готовым чертежам 8) а)СМ =12см - медиана, найти АВ=? А М С В.

Решение задач по готовым чертежам 8) а)СМ =12см – медиана, найти АВ=? А М С В б) АВ=26см, найти медиану СМ=? в)СМ=АМ=МВ=18см Определите вид ▲АВС?

Рефлексия 1. Я всё понял и могу применять все свойства. 2. Я всё понял и могу.

Рефлексия 1. Я всё понял и могу применять все свойства. 2. Я всё понял и могу применять некоторые свойства. 3. Для полного понимания мне необходимо повторить тему дома. 4. Я ничего не понял.

  • подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • ЗП до 91 000 руб.
  • Гибкий график
  • Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 596 693 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

  • 09.02.2016 2553
  • PPTX 985 кбайт
  • 22 скачивания
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шерстнева Наталья Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

  • Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

гипотенуза, катеты

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

признаки равенства прямоугольных треугольников 1

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

признаки равенства прямоугольных треугольников 2

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

признаки равенства прямоугольных треугольников 3

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

признаки равенства прямоугольных треугольников 4

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства прямоугольного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

  • Определение прямоугольного треугольника
  • Свойства прямоугольного треугольника
    • Свойство 1
    • Свойство 2
    • Свойство 3
    • Свойство 4
    • Свойство 5

    Определение прямоугольного треугольника

    Прямоугольным называют треугольник, в котором один из трех углов является прямым, т.е. равным 90°.

    Прямоугольный треугольник

    Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным – когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой составляет 45°.

    Равнобедренный прямоугольный треугольник

    Свойства прямоугольного треугольника

    Свойство 1

    Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равняется 90°.

    α + β = 90°

    Сумма всех углов любого треугольника составляет 180°. Т.к. один угол равен 90°, на два других, также, остается 90°.

    Свойство 2

    Катет прямоугольного треугольника, расположенный напротив угла в 30°, равняется половине его гипотенузы.

    В нашем случае, катет AB лежит напротив ∠ACB = 30°. Следовательно:

    Длина катета напротив угла в 30 градусов

    Прямоугольный треугольник с острым углом в 30 градусов

    Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника в два раза меньше длины его гипотенузы, значит угол напротив этого катета равняется 30°.

    Свойство 3

    Терему Пифагора можно, также, отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно ее формулировке, сумма квадратов катетов (a и b) равняется квадрату гипотенузы (c).

    Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.

    Свойство 4

    Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равняется половине гипотенузы.

    Медиана прямоугольного треугольника опущенная на гипотенузу

    Свойство 5

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной вокруг него окружности.

    Описанная вокруг прямоугольного треугольника окружность

    Согласно свойству 4, рассмотренному выше, медиана BO равняется половине гипотенузы AC и, одновременно, радиусу окружности, описанной вокруг △ABC.

    Пример задачи

    В качестве примера давайте рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Катет BC расположен напротив угла в 30°. Нужно доказать, что BC в два раза меньше гипотенузы AB.

    Решение

    Нарисуем чертеж по условиям задачи, и зеркально отразим получившийся треугольник.

    Доказательство свойства прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов

    Получаем △ABD, в котором ∠BAD равен 60° (30° + 30°). Т.к. все три угла данного треугольника равны, он является равносторонним. Следовательно, AD = AB = BD.

    Отрезки BC и CD равны между собой (зеркально отраженные), и каждый из них составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равняется AB.

    Таким образом, BC в два раза меньше AB (или AB = 2BC).

    Читайте также:

        

    • Реферат на тему себестоимость электроэнергии
    •   

    • Финансовая система оаэ реферат
    •   

    • Тенденции развития конституционного права на современном этапе реферат
    •   

    • Реферат проверка адекватности модели
    •   

    • Инструменты организации рабочего времени руководителя реферат

«Прямоугольный треугольник»



Прямоугольный треугольник определение

Прямоугольный треугольник — треугольник, имеющий прямой угол. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону, противолежащую к прямому углу, называют гипотенузой.

Свойства прямоугольного треугольника:
1. Катет меньше гипотенузы.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): с2 = а2 + b2.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
4. Медиана,проведенная к гипотенузе,равна половине гипотенузы (радиусу окружности, описанной около треугольника).
5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ,можно вычислить по формуле: r = (a + b — c)/2.
6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Если катет прямоугольного треугольника равен 1/2 гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Прямоугольный треугольник признаки

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны если:
• два катета одного треугольника равны двум катетам другого;
• катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников


Это конспект по теме «Прямоугольные треугольники». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: ЗАДАЧИ по теме Прямоугольные треугольники
  • Вернуться к Списку конспектов по геометрии

                 Исследовательская работа учащегося 8 класса.

            Прямоугольный треугольник: простой и неисчерпаемый.

                                              Введение.

     Геометрия – наука непростая и удивительная, ведь ее основные фигуры, точки, объекты не материальные, а воображаемые.  «Точка есть то, что есть ничто» – говорил Евклид. Особое место в геометрии занимает прямоугольный треугольник. Знакомство с ним произошло на уроках геометрии в 7 классе, изучение его продолжили в 8 классе, будем его изучать и в 9 классе. Я заметил, что  решая задачи,  мы почти всегда выходим на прямоугольный треугольник и с его помощью находим ответы на поставленные вопросы.  В чём же секрет прямоугольного треугольника? Все ли его свойства известны?  Каковы его возможности? С каких пор человек использует прямоугольный треугольник?  Ответам на эти вопросы и является моя исследовательская работа, которую я сегодня представляю вам.

  1. С каких же пор человек знает прямоугольный треугольник?

     Треугольником называют геометрическую фигуру, состоящую из трех точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

        Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур. C:UsersПользовательFavoritesPictures5.jpg

Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак ∆ вместо слова треугольник.

Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской  геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса

    Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса  длиной 5,25 м. и  шириной 33 см. Фрагмент папируса Ахмеса

    Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом . В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью – Йорке.

Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадейC:UsersПользовательFavoritesPictures6.jpg

Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.

        Термин гипотенуза происходит от греческого  hypoteinsa,

означающего тянущаяся под чем либо,  стягивающая.  Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны  натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

    Термин катет происходит от

греческого слова «катетос », которое означало отвес,  перпендикуляр. В средние века словом катет  означали высоту прямоугольного треугольника, в то время,  как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII  веке слово катет  начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII  века. C:UsersПользовательFavoritesPictures7.jpg

2.Свойства прямоугольного треугольника. Свойства углов: 

   А                      – сумма острых углов прямоугольного треугольника 

                                равна 900;

                             –  угол, лежащий против катета, равного половине гипоте-

                               нузы,   равен  300

                              – в  равнобедренном прямоугольном треугольнике острые    

                                    Углы равны по 450

   В                         С                  Свойства сторон:    

                                             – катет всегда меньше гипотенузы;

                                              – катет, лежащий против угла в 300, равен поло-

                                               вине гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.   Для того, чтобы установить равенство треугольников, необходимо доказать равенство трех элементов, взятых в каждом треугольнике.  Для прямоугольных же треугольников достаточно двух элементов. Итак, два прямоугольных треугольника равны, если

  • катеты одного из них, равны катетам другого;
  • гипотенуза и острый угол одного из них равны гипотенузе и острому углу другого;
  • катет и острый угол одного из них равны катету и острому углу другого.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

     1.Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу,                                                                                     

                                                                           С

                                         b                                                            a

     А                                            cb                                 H       ca                      B           есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенуза, на которые она делится этой высотой.

2.Каждый катет в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, опущенной на гипотенузу из вершины прямого угла.

 Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

         А                                      Синусом острого угла прямоугольного

                                                   треугольника называется отношение

                                                   противолежащего катета к гипотенузе.

                                                          Косинусом острого угла прямоугольного  

                                                     треугольника называется отношение при-

          С                             В          лежащего катета к гипотенузе.    

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется   отношение противолежащего катета ко второму катету.

        Зная острый угол   и одну из сторон прямоугольного треугольника можно вычислить оставшиеся углы и стороны.

         Знаменитая теорема Пифагора:  в  прямоугольном треугольнике  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Прямоугольный треугольник и окружность.

    С                                            Вокруг прямоугольного треугольника можно

                                           описать окружность и при том только одну.

                                               Центр этой окружности – середина гипотенузы,

А                                       В      а радиус равен половине гипотенузы.

                                                            В прямоугольный треугольник можно

                                                вписать окружность и при том только одну.

Центр этой окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.  А вот формулы для вычисления радиуса вписанной окружности мы не изучали.

        Я самостоятельно рассмотрел эту проблему и получил две формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

  1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны  a, b, а гипотенуза равна  c. Отрезки касательных, проведенных из точки  А равны m,а отрезки касательных, проведенных из точки В равны n.

                А                                  Радиус вписанной окружности равен r.

                                                   Тогда периметр треугольника  Р запишется так:

                m                m                   P = r + m + m + n + n + r = 2m + 2n + 2r.

                                                          P = 2(m + n) + 2r. Но m + n = c, значит

                                                                    Значит P = 2c + 2r  или

                r            r                     n                   r = (P – 2c) : 2, где Р – периметр,

                 С                                      В                    а с – гипотенуза.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности полупериметра этого треугольника и его гипотенузы.

                        r                   n

  1. Пусть S – площадь прямоугольного треугольника;  a, b  –  катеты; c –гипотенуза; P – периметр и r –радиус вписанной окружности.

S =  ab и  S =  Pr, тогда     ab =  Pr. Отсюда   ab = Pr  или  r =  

   То есть  r = .

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен  частному от деления произведения катетов на периметр этого треугольника.

Теперь при решении задач я могу использовать выведенные формулы.

3.Каковы его возможности.

     Прямоугольный треугольник служит ключиком к решению очень и очень многих геометрических задач, не только планиметрии, но и стереометрии.

 Он имеет и практическое применение.

     В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При определении площади земельного участка его разбивали на прямоугольные треугольники и находили площадь каждого прямоугольного  треугольника отдельно, а затем суммировали результат.

            Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два прямоугольных  треугольника с внутренним углом равным 51°50′.
       Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание 116, 58 м, высота 148,28 м.
     Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется “
золотым” прямоугольным треугольником.
     Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4 : 3. Такой треугольник называют “
священным” или “египетским” треугольником. По мнению многих известных историков, “египетскому” треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со “священным” треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание – жене, а гипотенузу – тому, что рождается от обоих.
         Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.
       Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства “египетского треугольника” были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.
   В наше время без прямоугольных треугольников не обойтись: это и разметка участков, строительство зданий, конструирование мебели, бытовой техники, одежды и т.д.

 4.Заключение.

    Форма этого треугольника и проста и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты – линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.  И самое главное – прямоугольный треугольник действительно простой и неисчерпаемый.  Он проводник в  удивительный мир геометрии, в мир ещё полный тайн и нерешенных задач. И кто знает, может нас ждут новые ещё нераскрытые свойства прямоугольного треугольника.

  Я надеюсь, что моя работа будет интересна не только мне, но и другим ребятам. Тем, для кого геометрия пока остаётся непонятной и трудной наукой.

 Я  думаю, что с этой работой полезно познакомиться учащимся восьмого и девятого классов,  и она поможет им понять геометрию и успешно подготовиться к выпускному экзамену.

                           Использованные  ресурсы

1.Л.С.Атанасян. Геометрия 7 – 9 .Учебник для общеобразовательных школ.

2.http://fizmat.by

3.http://matznanie.ru

4. http://fevt.ru

5. http://dasinok.ru

6. http://sites.google.ru

7. http://images yandex.ru

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Формулы прямоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

АВ = А1В1, АС = А1С1

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

ВС = В1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

ВС = В1С1, АС = А1С1 

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

АС = А1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c2= a2+ b2​​ ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

 ,

где c – гипотенуза.

                         Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность         

                         Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность         

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

 Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

 Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

 Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c2= a2+ b2 ,

a2= c2​ – b2 ,

b2= c2 – a2 ​.

Формула радиуса вписанной окружности (r):

 .

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R): 

.

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника: 

 .

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

.

Квадрат

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
29 312

Свойства прямоугольного треугольника

Taisnl_ip1.png

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна

90°

.

Сумма углов треугольника равна

180°

, а прямой угол равен

90°

, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника

 (1) (+)

 (2 =)

90°

.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в

30°

, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в ()

30°

()).

Taisnl_ip2.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC), в котором

 (A) — прямой,

 (B =)

30°

, и значит, что 

 (C =)

60°

.

Докажем, что (BC = 2 AC).
Приложим к треугольнику (ABC) равный ему треугольник (ABD), как показано на рисунке.

Получим треугольник (BCD), в котором

 (B =)

 (D =)

60°

, поэтому (DC = BC). Но (DC = 2 AC). Следовательно, (BC = 2 AC).

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен

30°

.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.